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<!DOCTYPE html>

<title>Orthodrome</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Orthodrome</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Die Orthodrome (von <a href="Altgriechische_Sprache" title="Altgriechische Sprache">altgriechisch</a> ὀρθοδρόμος <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r261937631">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .Latn{font-family:"Akzidenz Grotesk","Arial","Avant Garde Gothic","Calibri","Futura","Geneva","Gill Sans","Helvetica","Lucida Grande","Lucida Sans Unicode","Lucida Grande","Stone Sans","Tahoma","Trebuchet","Univers","Verdana"}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style>orthodrómos, deutsch ‚gradaus laufend‘)<a href="#cite_note-1">[1]</a> ist die kürzeste Verbindung zweier <a href="Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkte</a> auf einer <a href="Kugel" title="Kugel">Kugeloberfläche</a> (d. h. nicht die gerade Strecke durch die Kugel hindurch).

Die Orthodrome ist eine <a href="Geod%C3%A4te" title="Geodäte">Geodäte</a> für den speziellen Fall einer Kugeloberfläche. Die Orthodrome ist immer ein Teilstück eines <a href="Gro%C3%9Fkreis" title="Großkreis">Großkreises</a>. In der <a href="Luftfahrt" title="Luftfahrt">Luftfahrt</a> fliegt man meist entlang dieser Orthodrome, um die geringste Flugstrecke zurücklegen zu können. Die umgangssprachlich häufiger gebrauchte synonyme Bezeichnung ist daher <a href="Luftlinie" title="Luftlinie">Luftlinie</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definitionsbeschränkung">Definitionsbeschränkung</h2></div>

Die Orthodrome ist nicht definiert, wenn die gegebenen Punkte übereinstimmen oder auf der Kugeloberfläche gegenüberliegen (auf der Erdoberfläche also für antipode Punkte).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Berechnung">Berechnung</h2></div>

Grundlage für die folgenden Berechnungen sind die Formeln aus der <a href="Sph%C3%A4rische_Trigonometrie" title="Sphärische Trigonometrie">sphärischen Trigonometrie</a>.

<th>Verwendete Variablen

</th>

<th>Bedeutung

</th></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2691650573917bbe9b3d1c28ecfb49275110d16c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.773ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \,\phi }" loading="lazy"></td>

<td><a href="Geographische_Breite" title="Geographische Breite">Geographische Breite</a>

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4fb547bf232593dc98e480402a274f1746d8a4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.742ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \,\lambda }" loading="lazy"></td>

<td><a href="Geographische_L%C3%A4nge" title="Geographische Länge">Geographische Länge</a>

</td></tr>

<tr>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,A(\phi _{A},\lambda _{A})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/28c150677100e4804c81765a6d091fceb1c0e24d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.644ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \,A(\phi _{A},\lambda _{A})}" loading="lazy"></td>

<td>Anfangspunkt

</td></tr>

<tr>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,B(\phi _{B},\lambda _{B})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c3d6de27034566ec99343e064dcfd4db41a7884.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.694ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \,B(\phi _{B},\lambda _{B})}" loading="lazy"></td>

<td>Endpunkt

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d76de4670e50d6ff69434e1846142af7f347769.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.451ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \,N}" loading="lazy"></td>

<td>Nordpol

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\zeta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac437a0081335ce8739dab91420f33c18c792ffd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.482ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \,\zeta }" loading="lazy"></td>

<td><a href="Kreiswinkel" title="Kreiswinkel">Zentriwinkel</a> (Strecke AB, ausgedrückt als Winkel)

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45cf7b24ed5cba42772b015ce792d90a01a8f252.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.875ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \,\alpha }" loading="lazy"></td>

<td>Innenwinkel von Dreieck ABN bei A

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b45b56b447b4c0bc4a90529345b3260202f5bf96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.719ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \,\beta }" loading="lazy"></td>

<td>Innenwinkel von Dreieck ABN bei B

</td></tr>

<tr>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\omega _{A}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/005713108777a3618922edc5579ba90f0d737a14.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.298ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \,\omega _{A}}" loading="lazy"></td>

<td><a href="Kurswinkel" title="Kurswinkel">Kurswinkel</a> bei A

</td></tr>

<tr>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\omega _{B}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e74e77eeb4ffada4865e880b27e51c3ecb7f52a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.313ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \,\omega _{B}}" loading="lazy"></td>

<td>Kurswinkel bei B

</td></tr>

<tr>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,P_{N}(\phi _{N},\lambda _{N})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13cfc125c62e04de9b44ebfcff5dfb0e738b22ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.538ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \,P_{N}(\phi _{N},\lambda _{N})}" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \,P_{S}(\phi _{S},\lambda _{S})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,P_{S}(\phi _{S},\lambda _{S})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c73babc600863c52ba2ec2a5f2cda25d597400fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.34ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \,P_{S}(\phi _{S},\lambda _{S})}" loading="lazy">

</td>

<td>Nördlichster oder südlichster Punkt der Orthodrome

</td></tr></tbody></table>

Dabei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \,\lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4fb547bf232593dc98e480402a274f1746d8a4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.742ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \,\lambda }" loading="lazy"> in Richtung Westen negativ, Richtung Osten positiv; <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \,\phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2691650573917bbe9b3d1c28ecfb49275110d16c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.773ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \,\phi }" loading="lazy"> ist positiv für Breiten der Nordhemisphäre und negativ auf der Südhalbkugel.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Strecke">Strecke</h3></div>

Als Maß für die Entfernung zweier Punkte dient in der <a href="Sph%C3%A4rische_Geometrie" title="Sphärische Geometrie">sphärischen Geometrie</a> der zugehörige Mittelpunktswinkel (mit dem Kugelmittelpunkt als Scheitel). Dieser Winkel, hier mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5c3916703cae7938143d38865f78f27faadd4ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.095ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \zeta }" loading="lazy"> bezeichnet,

lässt sich berechnen durch<a href="#cite_note-2">[2]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos \zeta =\sin(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B})+\cos(\phi _{A})\cdot \cos(\phi _{B})\cdot \cos(\lambda _{B}-\lambda _{A}).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24d73c954b964f8e117b59c7ca5ffc78489cb9a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:60.233ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \cos \zeta =\sin(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B})+\cos(\phi _{A})\cdot \cos(\phi _{B})\cdot \cos(\lambda _{B}-\lambda _{A}).}" loading="lazy"></dd></dl>

Sind die gegebenen Punkte gleich, so erhält man durch diese Formel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta =0^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta =0^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffb9a588a5911334b98709f415afb99a0359325b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.41ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \zeta =0^{\circ }}" loading="lazy">. Liegen die beiden Punkte auf der Kugeloberfläche gegenüber, so ergibt sich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta =180^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta =180^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7fd381580d58d54719b203be0122f135e64c51f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.735ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \zeta =180^{\circ }}" loading="lazy">. In diesen Fällen sind Kurswinkel und die Lage der Orthodrome nicht definiert.

Um die Distanz zwischen den zwei Punkten zu berechnen, muss <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5c3916703cae7938143d38865f78f27faadd4ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.095ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \zeta }" loading="lazy"> noch mit dem mittleren <a href="Erdradius" title="Erdradius">Erdradius</a> (rund 6.371 km) multipliziert werden (für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5c3916703cae7938143d38865f78f27faadd4ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.095ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \zeta }" loading="lazy"> im <a href="Bogenma%C3%9F" class="mw-redirect" title="Bogenmaß">Bogenmaß</a>; falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5c3916703cae7938143d38865f78f27faadd4ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.095ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \zeta }" loading="lazy"> in Grad angegeben ist, muss noch zusätzlich mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi /180}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi /180}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d59f044eb29a0bbffcc0cc9acb9877e6cd75093c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.982ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \pi /180}" loading="lazy">° multipliziert werden).

Der Winkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5c3916703cae7938143d38865f78f27faadd4ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.095ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \zeta }" loading="lazy"> kann über das <a href="Skalarprodukt" title="Skalarprodukt">Skalarprodukt</a> der <a href="Ortsvektor" title="Ortsvektor">Ortsvektoren</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> berechnet werden. Die obige Formel ergibt sich dann durch Umformungen mit Hilfe geometrischer Additionstheoreme für Sinus und Kosinus. Alternativ kann die Formel hergeleitet werden, indem der <a href="Sph%C3%A4rische_Trigonometrie#Seiten-Kosinussatz" title="Sphärische Trigonometrie">Seiten-Kosinussatz</a> der sphärischen Trigonometrie auf das aus den Punkten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> und dem Nordpol gebildete Dreieck angewendet wird.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kurswinkel_und_rechtweisende_Kurse">Kurswinkel und rechtweisende Kurse</h3></div>

Der <a href="Kurswinkel" title="Kurswinkel">Kurswinkel</a> (das Azimut) gibt die Bewegungsrichtung an und wird ab Nordrichtung im Uhrzeigersinn gezählt. Zur Berechnung kann man für die nicht-trivialen Fälle das oben erwähnte Dreieck verwenden. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }" loading="lazy"> seien die Innenwinkel dieses Dreiecks bei A bzw. B (mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0^{\circ }<\alpha ,\beta <180^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0^{\circ }<\alpha ,\beta <180^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed3f9021298dff3dce7a111eec39c736ebe05276.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.809ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 0^{\circ }<\alpha ,\beta <180^{\circ }}" loading="lazy">). Sie können z. B. mithilfe des Seiten-Kosinussatzes berechnet werden.

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {\sin(\phi _{B})-\sin(\phi _{A})\cdot \cos \zeta }{\cos(\phi _{A})\cdot \sin \zeta }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dfc57f2a2f61acfeddf38e593606a408231ebc50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:33.078ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {\sin(\phi _{B})-\sin(\phi _{A})\cdot \cos \zeta }{\cos(\phi _{A})\cdot \sin \zeta }}}" loading="lazy"></dd></dl>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos \beta ={\frac {\sin(\phi _{A})-\sin(\phi _{B})\cdot \cos \zeta }{\cos(\phi _{B})\cdot \sin \zeta }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a4ce5d24a56c566ab9d3a968dce8f079555fc22.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:32.923ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \cos \beta ={\frac {\sin(\phi _{A})-\sin(\phi _{B})\cdot \cos \zeta }{\cos(\phi _{B})\cdot \sin \zeta }}}" loading="lazy"></dd></dl>

Fällt einer der gegebenen Punkte mit dem Nord- oder Südpol zusammen, so ist die entsprechende Gleichung wegen Division durch 0 unbrauchbar.

Die beiden Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }" loading="lazy"> lassen sich auch direkt aus den Breiten- und Längengraden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{A}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{A}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e38d84dcc21ea769a51ab502691f566c830b430.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.85ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{A}}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{B}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{B}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a829a7a85bb29904dec5e93605d0b976baf45755.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.865ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{B}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{A}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{A}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a3bcf5b35ccd34136b0529d005ffa35e142f2da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.82ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{A}}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{B}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{B}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdd311fe1d407d5c51537b4b7fa8063053c7958f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.835ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{B}}" loading="lazy"> bestimmen:

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msqrt>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {\cos(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B})-\cos(\lambda _{A}-\lambda _{B})\cdot \cos(\phi _{B})\cdot \sin(\phi _{A})}{\sqrt {1-(\cos(\lambda _{A}-\lambda _{B})\cdot \cos(\phi _{A})\cdot \cos(\phi _{B})+\sin(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B}))^{2}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8f002fdf233907ef35c8b77910834b54c8442f0a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:70.005ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {\cos(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B})-\cos(\lambda _{A}-\lambda _{B})\cdot \cos(\phi _{B})\cdot \sin(\phi _{A})}{\sqrt {1-(\cos(\lambda _{A}-\lambda _{B})\cdot \cos(\phi _{A})\cdot \cos(\phi _{B})+\sin(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B}))^{2}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msqrt>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos \beta ={\frac {\cos(\phi _{B})\cdot \sin(\phi _{A})-\cos(\lambda _{A}-\lambda _{B})\cdot \cos(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B})}{\sqrt {1-(\cos(\lambda _{A}-\lambda _{B})\cdot \cos(\phi _{A})\cdot \cos(\phi _{B})+\sin(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B}))^{2}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9e25b3b2f13c4b04462037022c0739ea5b772ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:69.85ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \cos \beta ={\frac {\cos(\phi _{B})\cdot \sin(\phi _{A})-\cos(\lambda _{A}-\lambda _{B})\cdot \cos(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B})}{\sqrt {1-(\cos(\lambda _{A}-\lambda _{B})\cdot \cos(\phi _{A})\cdot \cos(\phi _{B})+\sin(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B}))^{2}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<dl><dt>Kurswinkel</dt></dl>

Für die Kurswinkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{A}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{A}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6edaeab4afc26cfafacb8ad0b72cdcacbfe76f7c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.911ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{A}}" loading="lazy"> (am Anfangspunkt) und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{B}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{B}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a45dc41211d296979700bf741caa3335023fa597.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.925ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{B}}" loading="lazy"> (am Endpunkt) gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0^{\circ }\leq \omega _{A},\omega _{B}<360^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0^{\circ }\leq \omega _{A},\omega _{B}<360^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2d5752d2b3ee4332be850712f9107e4a2568610.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.825ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 0^{\circ }\leq \omega _{A},\omega _{B}<360^{\circ }}" loading="lazy">. Es ergibt sich:

<th>Voraussetzung

</th>

<th>Kurswinkel bei A

</th>

<th>Kurswinkel bei B

</th></tr>

<tr>

<td>B östlich von A</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{A}=\alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dae56334505112ef64aa911dd8086f6ccc3b65fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.497ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{A}=\alpha }" loading="lazy"></td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{B}=180^{\circ }-\beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/189f1225796f7ce557a89788fad30b784c8a71ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.738ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \omega _{B}=180^{\circ }-\beta }" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<td>B westlich von A</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{A}=360^{\circ }-\alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/784b27c4f19674f4d8dc5fd3b69f36f7f2e2eb33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.879ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \omega _{A}=360^{\circ }-\alpha }" loading="lazy"></td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{B}=180^{\circ }+\beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c4d952e6e4845588ea89ff2315b4d773ae827e4b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.738ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \omega _{B}=180^{\circ }+\beta }" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<td>Gleicher Meridian, B nördlich von A</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{A}=0^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f8ac992e45831c0c69ad600a948d76720c75f86.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.226ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \omega _{A}=0^{\circ }}" loading="lazy"></td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{B}=0^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0afb76ad3b4447430a00865434fa1bafc75e7600.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.241ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \omega _{B}=0^{\circ }}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<td>Gleicher Meridian, B südlich von A</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{A}=180^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d9b45c4b58fcfb753a17acec588106765e1c1169.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.551ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \omega _{A}=180^{\circ }}" loading="lazy"></td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{B}=180^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f72eb976ff94ef63c448bd1ea9ad49defb00228b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.565ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \omega _{B}=180^{\circ }}" loading="lazy">

</td></tr></tbody></table>

<dl><dt>Rechtweisende Kurse A → B (Hinweg)</dt></dl>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle rwK_{A}=\omega _{A}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/564e98560f4a322d1b3cd2b5955785d78b6b6be9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.16ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle rwK_{A}=\omega _{A}}" loading="lazy"></dd></dl>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle rwK_{B}=\omega _{B}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac72a8089893929a513b2dc4fb6333bc8f1f15a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.189ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle rwK_{B}=\omega _{B}}" loading="lazy"></dd></dl>

<dl><dt>Rechtweisende Kurse B → A (Rückweg)</dt></dl>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle rwK_{B}'=\omega _{B}\pm 180^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1aa37fea49f32b5bfee2a62e656edcd7a685dc8d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:19.571ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle rwK_{B}'=\omega _{B}\pm 180^{\circ }}" loading="lazy"></dd></dl>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle rwK_{A}'=\omega _{A}\pm 180^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41328e6c9d998634ddd0b144cf99ccbdedbe2305.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:19.542ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle rwK_{A}'=\omega _{A}\pm 180^{\circ }}" loading="lazy"></dd></dl>

Das Rechenzeichen (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle +}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle -}" loading="lazy">) ist hier so zu wählen, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0^{\circ }\leq rwK_{B}',rwK_{A}'<360^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0^{\circ }\leq rwK_{B}',rwK_{A}'<360^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/da921e382da36595cd2304c464ae848b4369181f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:26.305ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 0^{\circ }\leq rwK_{B}',rwK_{A}'<360^{\circ }}" loading="lazy"> erfüllt ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Nördlichster_oder_südlichster_Punkt">Nördlichster oder südlichster Punkt</h3></div>

Ob eine Orthodrome zwischen den Grenzpunkten einen nördlichsten oder südlichsten Punkt (Scheitelpunkt) hat, hängt vom Kurswinkel am Anfangspunkt (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{A}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{A}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6edaeab4afc26cfafacb8ad0b72cdcacbfe76f7c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.911ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{A}}" loading="lazy">) und am Endpunkt (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{B}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{B}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a45dc41211d296979700bf741caa3335023fa597.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.925ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{B}}" loading="lazy">) ab.

Ein nördlicher Scheitelpunkt existiert, wenn entweder zugleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0^{\circ }<\omega _{A}<90^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0^{\circ }<\omega _{A}<90^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91b33252a1aef3d779e9627d83dbb7ee0b63b277.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.703ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 0^{\circ }<\omega _{A}<90^{\circ }}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 90^{\circ }<\omega _{B}<180^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 90^{\circ }<\omega _{B}<180^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d495c48d668be258e8e98789d8fa6f6d20ba521.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.043ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 90^{\circ }<\omega _{B}<180^{\circ }}" loading="lazy"> oder zugleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 270^{\circ }<\omega _{A}<360^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 270^{\circ }<\omega _{A}<360^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5304a1ba404cddaf79d680a8f5fae11d36fc4804.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.191ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 270^{\circ }<\omega _{A}<360^{\circ }}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 180^{\circ }<\omega _{B}<270^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 180^{\circ }<\omega _{B}<270^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/76b1dbd0759ebc9541c0f804f284e3c1293b5271.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.206ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 180^{\circ }<\omega _{B}<270^{\circ }}" loading="lazy"> gilt. Man erhält unter dieser Voraussetzung:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mi>arccos</mi>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{N}=\arccos \left(|\sin(\omega _{A})|\cdot \cos(\phi _{A})\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8222585aa7e87c2c88c6065f20bd4a9361c4f9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.908ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi _{N}=\arccos \left(|\sin(\omega _{A})|\cdot \cos(\phi _{A})\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

<dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{N}=\left\{{\begin{array}{ll}\lambda _{A}+\arccos \left({\frac {\tan(\phi _{A})}{\tan(\phi _{N})}}\right),&{\mbox{falls}}\;\omega _{A}<180^{\circ }\\\lambda _{A}-\arccos \left({\frac {\tan(\phi _{A})}{\tan(\phi _{N})}}\right),&{\mbox{falls}}\;\omega _{A}>180^{\circ }\end{array}}\right.}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mi>arccos</mi>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mtext>falls</mtext>

</mstyle>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mi>arccos</mi>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mtext>falls</mtext>

</mstyle>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{N}=\left\{{\begin{array}{ll}\lambda _{A}+\arccos \left({\frac {\tan(\phi _{A})}{\tan(\phi _{N})}}\right),&{\mbox{falls}}\;\omega _{A}<180^{\circ }\\\lambda _{A}-\arccos \left({\frac {\tan(\phi _{A})}{\tan(\phi _{N})}}\right),&{\mbox{falls}}\;\omega _{A}>180^{\circ }\end{array}}\right.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b8bbf42182c6967bd64a8f6174ddb9c3d97a9f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:48.685ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{N}=\left\{{\begin{array}{ll}\lambda _{A}+\arccos \left({\frac {\tan(\phi _{A})}{\tan(\phi _{N})}}\right),&{\mbox{falls}}\;\omega _{A}<180^{\circ }\\\lambda _{A}-\arccos \left({\frac {\tan(\phi _{A})}{\tan(\phi _{N})}}\right),&{\mbox{falls}}\;\omega _{A}>180^{\circ }\end{array}}\right.}" loading="lazy"></dd></dl>

Ein südlicher Scheitelpunkt existiert, wenn entweder zugleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 90^{\circ }<\omega _{A}<180^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 90^{\circ }<\omega _{A}<180^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f1a7ffc83301ba39e89b2a5a6a3310ba23cc53fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.028ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 90^{\circ }<\omega _{A}<180^{\circ }}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0^{\circ }<\omega _{B}<90^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0^{\circ }<\omega _{B}<90^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f0caaad7b486783dcd157e4488cac8365f906fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.718ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 0^{\circ }<\omega _{B}<90^{\circ }}" loading="lazy"> oder zugleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 180^{\circ }<\omega _{A}<270^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 180^{\circ }<\omega _{A}<270^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b85b3f58ac449e8f1d17cb1361bbb35d322291cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.191ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 180^{\circ }<\omega _{A}<270^{\circ }}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 270^{\circ }<\omega _{B}<360^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 270^{\circ }<\omega _{B}<360^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a9bd2cf55002df6382889d002d6f65c5592f50c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.206ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 270^{\circ }<\omega _{B}<360^{\circ }}" loading="lazy"> gilt. In diesem Fall ergibt sich:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mi>arccos</mi>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{S}=-\arccos \left(|\sin(\omega _{A})|\cdot \cos(\phi _{A})\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79cf26cdd36f99af4487489afc99e199474e653c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.704ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi _{S}=-\arccos \left(|\sin(\omega _{A})|\cdot \cos(\phi _{A})\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

<dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{S}=\left\{{\begin{array}{ll}\lambda _{A}+\arccos \left({\frac {\tan(\phi _{A})}{\tan(\phi _{S})}}\right),&{\mbox{falls}}\;\omega _{A}<180^{\circ }\\\lambda _{A}-\arccos \left({\frac {\tan(\phi _{A})}{\tan(\phi _{S})}}\right),&{\mbox{falls}}\;\omega _{A}>180^{\circ }\end{array}}\right.}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mi>arccos</mi>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mtext>falls</mtext>

</mstyle>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mi>arccos</mi>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mtext>falls</mtext>

</mstyle>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{S}=\left\{{\begin{array}{ll}\lambda _{A}+\arccos \left({\frac {\tan(\phi _{A})}{\tan(\phi _{S})}}\right),&{\mbox{falls}}\;\omega _{A}<180^{\circ }\\\lambda _{A}-\arccos \left({\frac {\tan(\phi _{A})}{\tan(\phi _{S})}}\right),&{\mbox{falls}}\;\omega _{A}>180^{\circ }\end{array}}\right.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9b38c832a0515b3fe12ff79bb4c99d0584881ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:48.102ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{S}=\left\{{\begin{array}{ll}\lambda _{A}+\arccos \left({\frac {\tan(\phi _{A})}{\tan(\phi _{S})}}\right),&{\mbox{falls}}\;\omega _{A}<180^{\circ }\\\lambda _{A}-\arccos \left({\frac {\tan(\phi _{A})}{\tan(\phi _{S})}}\right),&{\mbox{falls}}\;\omega _{A}>180^{\circ }\end{array}}\right.}" loading="lazy"></dd></dl>

Wegen der Festlegung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -180^{\circ }\leq \lambda \leq +180^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -180^{\circ }\leq \lambda \leq +180^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f763c34a8e3c5b65d0b6e7048cb7dfedab8ad76d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:20.252ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle -180^{\circ }\leq \lambda \leq +180^{\circ }}" loading="lazy"> müssen die Ergebnisse für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{N}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{N}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/595111953b67b8b3128ad3b7e568ff3f0f997be4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.047ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{N}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{S}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{S}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70c223293a073261e7f22bea7e15a51105a0484a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.648ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{S}}" loading="lazy"> unter Umständen korrigiert werden: Bei Werten über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 180^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 180^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5d0431ce231935522dc0cb52df7f2b406cdadc3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.542ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 180^{\circ }}" loading="lazy"> muss <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 360^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 360^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb451712d2b1f32ec132e9cf56eca04a64cad60e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.542ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 360^{\circ }}" loading="lazy"> subtrahiert werden, bei Werten unter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -180^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -180^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f12ebed2e52998103bdb41e615c5b0718766489f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.35ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle -180^{\circ }}" loading="lazy"> muss <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 360^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 360^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb451712d2b1f32ec132e9cf56eca04a64cad60e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.542ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 360^{\circ }}" loading="lazy"> addiert werden.

Die Formeln lassen sich begründen durch Anwendung der <a href="Nepersche_Regel" class="mw-redirect" title="Nepersche Regel">neperschen Regel</a> auf das rechtwinklige Kugeldreieck, das durch Punkt A, den Scheitelpunkt und den Nordpol bestimmt ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiel_Berechnung_der_Entfernung_Berlin–Tokio">Beispiel Berechnung der Entfernung Berlin–Tokio</h2></div>

Geographische Koordinaten der Anfangs- und Endpunkte:

<ul><li>Berlin

<li>Tokio

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Winkelberechnung">Winkelberechnung</h3></div>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\phi _{A}=52{,}517^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/965f6c69bebdc23f8eda36cfcbd31004e0f128a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.849ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \,\phi _{A}=52{,}517^{\circ }}" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\lambda _{A}=13{,}40^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/42959475de315df2710fffd5c59dfb634d0a82c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.657ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \,\lambda _{A}=13{,}40^{\circ }}" loading="lazy"></dd></dl>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\phi _{B}=35{,}70^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30c4baa27185ec59250d586a11921b59cda0ca3a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.701ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \,\phi _{B}=35{,}70^{\circ }}" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\lambda _{B}=139{,}767^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7e1ef3c68e9fc87af595ada3e27c0b1d05e529f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.996ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \,\lambda _{B}=139{,}767^{\circ }}" loading="lazy"></dd></dl>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mi>arccos</mi>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mi>arccos</mi>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mi>arccos</mi>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mi>arccos</mi>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\,\zeta &=\arccos {\Big (}\sin(\phi _{A})\sin(\phi _{B})+\cos(\phi _{A})\cos(\phi _{B})\cos(\lambda _{B}-\lambda _{A}){\Big )}\\&=\arccos {\Big (}\sin(52{,}517^{\circ })\sin(35{,}70^{\circ })+\cos(52{,}517^{\circ })\cos(35{,}70^{\circ })\cos(139{,}767^{\circ }-13{,}40^{\circ }){\Big )}\\&=\arccos(0{,}79353\cdot 0{,}58354+0{,}60853\cdot 0{,}81208\cdot (-0{,}59296))\\&=\arccos(0{,}1700)\\&=80{,}212^{\circ }\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cdc1b8cfd50de635eb06dc8f263cdd74d4466e10.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -8.838ex; width:88.788ex; height:18.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\,\zeta &=\arccos {\Big (}\sin(\phi _{A})\sin(\phi _{B})+\cos(\phi _{A})\cos(\phi _{B})\cos(\lambda _{B}-\lambda _{A}){\Big )}\\&=\arccos {\Big (}\sin(52{,}517^{\circ })\sin(35{,}70^{\circ })+\cos(52{,}517^{\circ })\cos(35{,}70^{\circ })\cos(139{,}767^{\circ }-13{,}40^{\circ }){\Big )}\\&=\arccos(0{,}79353\cdot 0{,}58354+0{,}60853\cdot 0{,}81208\cdot (-0{,}59296))\\&=\arccos(0{,}1700)\\&=80{,}212^{\circ }\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\zeta =1{,}400}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e60916d5a9eb4d169d7dfa89f473b0064bdb6902.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.877ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \,\zeta =1{,}400}" loading="lazy"> im <a href="Bogenma%C3%9F" class="mw-redirect" title="Bogenmaß">Bogenmaß</a></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Streckenberechnung">Streckenberechnung</h3></div>

Zur Vereinfachung wird von einer Erdkugel mit dem Umfang 40.000 km bzw. dem Radius 6366 km ausgegangen.

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}L&={\frac {\zeta }{360^{\circ }}}\cdot 40\,000\ \mathrm {km} \\&={\frac {80{,}212^{\circ }}{360^{\circ }}}\cdot 40\,000\ \mathrm {km} \\&=8912\ \mathrm {km} \end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2dcbf97a02246b00a545d2babec64d66b7cbaf1f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.671ex; width:25.405ex; height:14.343ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}L&={\frac {\zeta }{360^{\circ }}}\cdot 40\,000\ \mathrm {km} \\&={\frac {80{,}212^{\circ }}{360^{\circ }}}\cdot 40\,000\ \mathrm {km} \\&=8912\ \mathrm {km} \end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Oder für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \,\zeta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\zeta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac437a0081335ce8739dab91420f33c18c792ffd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.482ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \,\zeta }" loading="lazy"> im <a href="Bogenma%C3%9F" class="mw-redirect" title="Bogenmaß">Bogenmaß</a>:

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}L&=\zeta \cdot 6366\ \mathrm {km} \\&=8912\ \mathrm {km} \end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b078103201d828aa97ab89917a6989adf4cd9cde.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.601ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}L&=\zeta \cdot 6366\ \mathrm {km} \\&=8912\ \mathrm {km} \end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Das sind aufgrund der idealisierten Geodaten selbstverständlich nur zwei Näherungen. Die tatsächliche Entfernung zwischen den beiden angegebenen Punkten in Berlin und Tokio kann bei Verwendung des <a href="WGS84" class="mw-redirect" title="WGS84">WGS84</a>-<a href="Referenzellipsoid" title="Referenzellipsoid">Referenzellipsoids</a> zu 8941,2 km genauer berechnet werden, also mit einer Abweichung von etwa 23 km oder 0,26 % im Vergleich zur zweiten Näherung.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Genauere_Formel_zur_Abstandsberechnung_auf_der_Erde">Genauere Formel zur Abstandsberechnung auf der Erde</h2></div>

Mit folgenden Formeln kann der Abstand zwischen zwei Standorten auf der Erde auf 50 Meter genau berechnet werden, siehe dazu auch <a href="Thaddeus_Vincenty" title="Thaddeus Vincenty">Thaddeus Vincenty</a>. Dabei wird keine Kugel, sondern das <a href="WGS84" class="mw-redirect" title="WGS84">WGS84</a>-Ellipsoid zugrunde gelegt. Sollten Koordinaten eines anderen <a href="Referenzellipsoid" title="Referenzellipsoid">Referenzellipsoids</a> verwendet werden, müssen die Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> (Radius) und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> (<a href="Erdabplattung" title="Erdabplattung">Abplattung</a>) angepasst werden.

Seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{A}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{A}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e38d84dcc21ea769a51ab502691f566c830b430.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.85ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{A}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{A}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{A}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a3bcf5b35ccd34136b0529d005ffa35e142f2da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.82ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{A}}" loading="lazy"> die geografische Breite und Länge von Standort A, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{B}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{B}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a829a7a85bb29904dec5e93605d0b976baf45755.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.865ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{B}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{B}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{B}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdd311fe1d407d5c51537b4b7fa8063053c7958f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.835ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{B}}" loading="lazy"> die geografische Breite und Länge von Standort B im Gradmaß. Der Abstand zwischen beiden Standorten berechnet sich wie folgt:

Abplattung der Erde: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f={\frac {1}{298{,}257\,223\,563}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f={\frac {1}{298{,}257\,223\,563}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5aacd5894f9341baa45b14b67299142b29848aad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:20.584ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle f={\frac {1}{298{,}257\,223\,563}}}" loading="lazy">

Äquatorradius der Erde: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=6378{,}137\ \mathrm {km} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=6378{,}137\ \mathrm {km} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8122d0bdbfebae552af65f6494bad5bf199653d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.856ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a=6378{,}137\ \mathrm {km} }" loading="lazy">

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F={\frac {\phi _{A}+\phi _{B}}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b73daa7ee9ce46a1439b3d97f888172de78d2588.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.231ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle F={\frac {\phi _{A}+\phi _{B}}{2}}}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G={\frac {\phi _{A}-\phi _{B}}{2}}}">

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G={\frac {\phi _{A}-\phi _{B}}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/780d38169371d63a5c981d7b0a4070df44c0a21a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.317ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle G={\frac {\phi _{A}-\phi _{B}}{2}}}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l={\frac {\lambda _{A}-\lambda _{B}}{2}}}">

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l={\frac {\lambda _{A}-\lambda _{B}}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f984bdcd6b68782c8a2e1f1a933f74f40bfc7d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.123ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle l={\frac {\lambda _{A}-\lambda _{B}}{2}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Zunächst wird der grobe Abstand D ermittelt:

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=(\sin {G})^{2}\cdot (\cos {l})^{2}+(\cos {F})^{2}\cdot (\sin {l})^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49f5052f525d6daa38dbbe280d665498fd81d9e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.686ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle S=(\sin {G})^{2}\cdot (\cos {l})^{2}+(\cos {F})^{2}\cdot (\sin {l})^{2}}" loading="lazy"></dd>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C=(\cos {G})^{2}\cdot (\cos {l})^{2}+(\sin {F})^{2}\cdot (\sin {l})^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4af633ba971b2d5c8719a63afb0bf00646ce2514.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.953ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle C=(\cos {G})^{2}\cdot (\cos {l})^{2}+(\sin {F})^{2}\cdot (\sin {l})^{2}}" loading="lazy"></dd>

<mi>arctan</mi>

<msqrt>

<mfrac>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w=\arctan {\sqrt {\frac {S}{C}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/52d3f120a556477311dc240b83b739993dba90f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.542ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle w=\arctan {\sqrt {\frac {S}{C}}}}" loading="lazy"></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D=2\cdot w\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7170fed06e4ceaca1f4b7711c59b6383c5dd8cb8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.437ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D=2\cdot w\cdot a}" loading="lazy"></dd></dl>

Dabei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy"> im <a href="Bogenma%C3%9F" class="mw-redirect" title="Bogenmaß">Bogenmaß</a> einzusetzen.

Der Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> wird durch die Faktoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d4d9a872a55b209f2eb7cc23a71e5e1541bd1f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7fa4324515cc7343ee952e3840a1bb1aa8c7f74c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{2}}" loading="lazy"> korrigiert:

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T={\frac {\sqrt {S\cdot C}}{w}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ea66d7562e5927fbe7aebd98f61875bf9e3d538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.451ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle T={\frac {\sqrt {S\cdot C}}{w}}}" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}={\frac {3\cdot T-1}{2\cdot C}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/434a549eb1103a4440095170e7b95ad52808ec1f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:15.401ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle H_{1}={\frac {3\cdot T-1}{2\cdot C}}}" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{2}={\frac {3\cdot T+1}{2\cdot S}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a41558b60d95bcbda59b7131b25a29e1f5a5bdd2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:15.401ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle H_{2}={\frac {3\cdot T+1}{2\cdot S}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy"> in Kilometern berechnet sich abschließend wie folgt:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s=D\cdot \left(1+f\cdot H_{1}\cdot (\sin {F})^{2}\cdot (\cos {G})^{2}-f\cdot H_{2}\cdot (\cos {F})^{2}\cdot (\sin {G})^{2}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8cd3e8a337abc680b18751167d0bea631865a2e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:67.439ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle s=D\cdot \left(1+f\cdot H_{1}\cdot (\sin {F})^{2}\cdot (\cos {G})^{2}-f\cdot H_{2}\cdot (\cos {F})^{2}\cdot (\sin {G})^{2}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Berechnungsbeispiel_Berlin_–_Tokio">Berechnungsbeispiel Berlin – Tokio</h3></div>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{lcl}\phi _{A}&=&52{,}516666666666667^{\circ }\\\lambda _{A}&=&13{,}400^{\circ }\\\phi _{B}&=&35{,}700^{\circ }\\\lambda _{B}&=&139{,}766666666666667^{\circ }\\\\f&=&0{,}00335281066474748\\a&=&6378{,}137\ \mathrm {km} \\F&=&44{,}108333333333333^{\circ }\\G&=&8{,}408333333333333^{\circ }\\l&=&-63{,}183333333333333^{\circ }\\S&=&0{,}41498261872684\\C&=&0{,}58501738127316\\w&=&0{,}699965690768276\\D&=&8928{,}9541420394\ \mathrm {km} \\T&=&0{,}70391883329502\\H_{1}&=&0{,}95019099899696\\H_{2}&=&3{,}74926124548527\\\\s&=&8941{,}20250458698\ \mathrm {km} \end{array}}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02e27599d675273a54ddd3b0f83ea25d2792643e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -30.171ex; width:33.461ex; height:61.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{array}{lcl}\phi _{A}&=&52{,}516666666666667^{\circ }\\\lambda _{A}&=&13{,}400^{\circ }\\\phi _{B}&=&35{,}700^{\circ }\\\lambda _{B}&=&139{,}766666666666667^{\circ }\\\\f&=&0{,}00335281066474748\\a&=&6378{,}137\ \mathrm {km} \\F&=&44{,}108333333333333^{\circ }\\G&=&8{,}408333333333333^{\circ }\\l&=&-63{,}183333333333333^{\circ }\\S&=&0{,}41498261872684\\C&=&0{,}58501738127316\\w&=&0{,}699965690768276\\D&=&8928{,}9541420394\ \mathrm {km} \\T&=&0{,}70391883329502\\H_{1}&=&0{,}95019099899696\\H_{2}&=&3{,}74926124548527\\\\s&=&8941{,}20250458698\ \mathrm {km} \end{array}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy"> ist also auf etwa 50 m genau zu 8.941,2 km bestimmt worden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Loxodrome">Loxodrome</h2></div>

Bei der <a href="Navigation" title="Navigation">Navigation</a> von Punkt A nach B mit einem <a href="Kompass" title="Kompass">Kompass</a> eignet sich die <a href="Loxodrome" title="Loxodrome">Loxodrome</a> besser, da sie die <a href="Meridian_(Geographie)" title="Meridian (Geographie)">Meridiane</a> immer im gleichen Winkel kreuzt, man also den einmal eingestellten (Kompass-)Kurs einfach beibehalten kann.

Bei kurzen Strecken ist eine Loxodrome nur unwesentlich länger als eine Orthodrome. Bei hoher Breite und bei Entfernungen unterhalb von 30 Längengraden liegt der relative Längenunterschied bei weniger als 1 %. Danach steigt er deutlich an. Eine Reise entlang des 50. Breitengrades über 180 Längengrade ist 45 % länger als der Weg über einen Großkreis, der dann über den Pol verläuft.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Geod%C3%A4te" title="Geodäte">Geodätische Linie (Geodäte)</a></li>

<li><a href="Abweitung" title="Abweitung">Abweitung</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Great_circle?uselang=de">Commons: Orthodrome</a> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://geographiclib.sourceforge.net/cgi-bin/GeodSolve">Berechnung von Entfernung und Anfangskurs für beliebige Rotationsellipsoide</a> (englisch)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://gc.kls2.com/">Great Circle Mapper</a> – Great Circle mapper including <a href="ETOPS" title="ETOPS">ETOPS</a> ranges (englisch)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.netzwolf.info/ol2/geodetic.html">Erweitertes Messwerkzeug</a> – mit Vergleich von Orthodrome und Loxodrome zwischen zwei Punkten auf <a href="Openstreetmap" class="mw-redirect" title="Openstreetmap">OSM</a>-Weltkarte</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.kompf.de/trekka/distance.php">Entfernungsberechnung zwischen zwei Orten der Erde</a> – auf Basis einer idealen Kugel mit einem Radius von 6378,388 km.</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://terrestrialnavigation.com/TNavigation/MenueGreatCircle">Ausführliche Großkreisberechnung für die Praxis (englisch)</a> – Orthodrome und Loxodrome Distanz, Anfangs und Endkurs, Mischsegeln, Etmal, Meridianschnittpunkte</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>J. Meeus: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.agopax.it/Libri_astronomia/pdf/Astronomical%20Algorithms.pdf">Astronomical Algorithms</a>. , <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/item/LJDY7OVNHYX345VMT4RNKQIHLJ2GXVJZ">Astronomische Algorithmen (Deutsch)</a> 2. Auflage. Willmann-Bell, Richmond 2000, ISBN 0-943396-61-1, S. 85.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a href="Wilhelm_Pape" title="Wilhelm Pape">Wilhelm Pape</a>, Max Sengebusch (Bearb.): <cite style="font-style:italic">Handwörterbuch der griechischen Sprache</cite>. 3. Auflage, 6. Abdruck. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.zeno.org/nid/2000866918X">zeno.org</a> [abgerufen am 3. August 2024]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Orthodrome&rft.au=Wilhelm+Pape%2C+Max+Sengebusch+%28Bearb.%29&rft.btitle=Handw%C3%B6rterbuch+der+griechischen+Sprache&rft.date=1914&rft.edition=3.+Auflage%2C+6.+Abdruck&rft.genre=book&rft.place=Braunschweig&rft.pub=Vieweg+%26+Sohn" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Ilʹja N. Bronštejn: <cite style="font-style:italic">Taschenbuch der Mathematik</cite>. 11., aktualisierte Auflage. Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1, S. 172 (Abweichende Bezeichnungen).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Orthodrome&rft.au=Il%CA%B9ja+N.+Bron%C5%A1tejn&rft.btitle=Taschenbuch+der+Mathematik&rft.date=2020&rft.edition=11.%2C+aktualisierte&rft.genre=book&rft.isbn=9783808557921&rft.pages=172&rft.place=Haan-Gruiten" style="display:none">

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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